私は人参が大嫌い。

I really don't like carrots.

“really” は「本当に・とても」という意味で、強調したい言葉の直前に置かれる。
この文の場合は don't like を強調しているので、「本当に嫌い」→大嫌い。

I don't really like carrots.(私は人参が苦手だ)
この場合は、don't が強調の範囲をはずれるので、強調の度合いが薄れて、「あんまり好きじゃないい」という意味になる。

さらに、don'tは、don't から後ろの部分を否定する。
I really don't like carrots.この場合は、 like carrotsを否定。「ニンジンが好きではない」→嫌い。
I don't really like carrots.この場合は、really like carrotsを否定。「ニンジンが大好きではない」→苦手。

街角で見かけた英語（メルボルン）

pharmacy「薬局」